Đề bài: Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh $\Delta ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                          $Q=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$

Lời giải

Đề bài:
Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh $\Delta ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức                                          $Q=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$
Lời giải

Với mọi $\Delta ABC$ luôn có $(a-b)(A-B)\geq 0 \Leftrightarrow  aA+bB-aB-bA \geq 0$
Tương tự $bB+cC-bC-cB, cC+aA-cA-aC \geq 0$
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có
     $a(2A-B-C)+b(2B-C-A)+c(2C-A-B) \geq 0$
$\Leftrightarrow  a[3A-(A+B+C)]+b[3B-(A+B+C)]+c[3C-(A+B+C)] \geq 0$
$\Leftrightarrow  a(3A-\pi)+b(3B-\pi)+c(3C-\pi)\geq 0 \Leftrightarrow  3(aA+bB+cC) \geq \pi(a+b+c)$
$\Leftrightarrow  \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \geq \frac{\pi}{3}$. Dấu đẳng thức trong các bất đẳng thức trên đồng thời xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \Leftrightarrow  \Delta ABC$ đều. Vậy $\min Q=\frac{\pi}{3}$     

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác