Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có số đo ba cạnh là $a, b, c$ và chu vi $2p$. Giả sử  $ c \le b \le a $. Chứng minh rằng:  $p^2 \le \frac{9}{4}ab. $

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$ có số đo ba cạnh là $a, b, c$ và chu vi $2p$. Giả sử  $ c \le b \le a $. Chứng minh rằng:  $p^2 \le \frac{9}{4}ab. $
Lời giải

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức:
  $ {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 9ab $        (1)
Ta có:   $ c \le b \Leftrightarrow a + b + c \le 2b + a $   $  \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le {\left( {2b + a} \right)^2} $        (2)
Ta có: $ {\left( {2b + a} \right)^2} – 9ab = 4{b^2} + {a^2} – 5ab = \left( {b – a} \right)\left( {4b – a} \right) $
Với
$ \begin{array}{l}
b – a \le 0;4b – a = 2b + 2b – a > 2b + b + c – a > 0
 \Rightarrow {\left( {2b + a} \right)^2} – 9ab \le 0\\
\Leftrightarrow {\left( {2b + a} \right)^2} \le 9ab\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} $
Từ (2) và (3), theo tính chất bắc cầu  $  \Rightarrow \,\,\,(1) $  $  \Rightarrow  $  đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác