• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$
Lời giải

1/. Do vai trò bình đẳng nên giả sử          $a \le b \le c$
Khi đó  ta có                            $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c}      (1)$
Trong mọi tam giác thì ${h_a} \le {l_a}$,vì thế từ giả thiết  ta có ${h_a} Áp dụng công thức   ${l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + b}}$,suy ra
                         ${l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + b}} Từ $(1)(3)$ ta có   $c{\rm{os}}\frac{A}{2} Vi $A$ là góc nhỏ nhất trong tam giác nên :
   $A \le \frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos A \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}                               (5)$
Từ $4)(5)$ lại có:  $\frac{1}{a} > \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a Vì $S = \frac{1}{2}a{h_a}$ ,nên từ $(2)$ và $(6)$ suy ra  $S Đó là (đpcm)

Nhận xét: Mệnh đề đảo nói chung không đúng.Thật vậy
Xét tam giác cân $ABC$ đỉnh $A$ có
$BC = \frac{1}{2};AH = 2$
Khi đó ${l_a} = AH = 2$
        $ \Rightarrow m{\rm{ax}}({l_a},{l_b},{l_c}) \ge {l_a} > 2$
Lại có $S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2} Như vậy tam giác này có  $S 1$
Với ví dụ này,nhận xét được chứng minh
$2/$ Không mất tổng quát,giả sử $a \ge b \ge c$,khi đó ta có
                              $\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\frac{A}{2} \le c{\rm{os}}\frac{B}{2} \le c{\rm{os}}\frac{C}{2}\\
\frac{{bc}}{{b + c}} \le \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{ab}}{{a + b}}
\end{array} \right.$
Vì thế áp dụng bất đẳng thức Trebusep,ta có:
${l_a} + {l_b} + {l_c} = 2(\frac{{ab}}{{a + b}}c{\rm{os}}\frac{C}{2} + \frac{{ac}}{{a + c}}c{\rm{os}}\frac{B}{2} + \frac{{bc}}{{b + c}}c{\rm{os}}\frac{A}{2})$
               $\ge \frac{2}{3}(c{\rm{os}}\frac{A}{2} + c{\rm{os}}\frac{B}{2} + c{\rm{os}}\frac{C}{2})(\frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{b + c}}{{bc}} + \frac{{a + c}}{{ac}})                 (1)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Mặt khác trong tam giác $ABC$ có:
                   $c{\rm{os}}\frac{A}{2} + c{\rm{os}}\frac{B}{2} + c{\rm{os}}\frac{C}{2} \ge \sin A + \sin B + \sin C                      (2)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Từ $(1)(2)$ và $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{{a + b + c}}{{2R}}$,ta có:
                  ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{{3R}}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})                           (3)$
Bây giờ từ $(3)$ và giả thiết suy ra $R \ge 1$
Đó là (đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$
  2. Đề bài: Cho $a, b, c$ là độ dài các cạnh và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$
  3. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ ta có:        $a^2MA^2 + b^2MB^2 + c^2MC^2 \ge \frac{{3{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
  4. Đề bài: Cho tam giác $ABC$  thỏa mãn :                    $\cos A+\cos B+\cos C+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=0     (1)$Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  5. Đề bài: Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác. Chứng minh:$\displaystyle \frac{a}{2b+2c-a}+\frac{b}{2c+2a-b}+\frac{c}{2a+2b-c}\geq 1$
  6. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:   $\cos A + \cos B+\cos C =\sin \frac{ A}{ 2} + \sin \frac{ B}{ 2} +\sin \frac{C }{ 2}   (1)$.Chứng minh  $\Delta ABC$ đều.
  8. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c.$Chứng minh $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$
  9. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
  10. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn:                    $\frac{ 1}{a^3+b^3+abc } +\frac{1 }{ b^3+c^3+abc} +\frac{ 1}{ c^3+a^3+abc} = \frac{1 }{ abc}    (1)$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
  11. Đề bài: Chứng minh rằng:$\tan^{n} A+\tan^{n} B+\tan^{n} C \geq 3 (\sqrt {3})^{n}, \forall n \geq 1 và  \Delta ABC  nhọn$
  12. Đề bài: Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $\triangle ABC,a\leq b\leq c$Chứng minh rằng: $\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 9bc$
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng bất đẳng thức:$2\cos C+6\cos A+3\cos B
  14. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ có $r,R$ theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, chứng minh rằng:  $\frac{r}{R}\leq \frac{1}{2}$
  15. Đề bài: Chứng minh rằng nếu $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$ thì                             \(3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} + 4abc \ge 13\)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.