• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Toán 12
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Bất đẳng thức - Bài tập tự luận / Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$

Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$

Ngày 11/07/2021 Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức trong tam giác

Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < \frac{{\sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{3}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R \ge 1$
Lời giải

1/. Do vai trò bình đẳng nên giả sử          $a \le b \le c$
Khi đó  ta có                            $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c}      (1)$
Trong mọi tam giác thì ${h_a} \le {l_a}$,vì thế từ giả thiết  ta có ${h_a} Áp dụng công thức   ${l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + b}}$,suy ra
                         ${l_a} = \frac{{2bc\cos \frac{A}{2}}}{{b + b}} Từ $(1)(3)$ ta có   $c{\rm{os}}\frac{A}{2} Vi $A$ là góc nhỏ nhất trong tam giác nên :
   $A \le \frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos A \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}                               (5)$
Từ $4)(5)$ lại có:  $\frac{1}{a} > \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a Vì $S = \frac{1}{2}a{h_a}$ ,nên từ $(2)$ và $(6)$ suy ra  $S Đó là (đpcm)
Đề bài: 1)   Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện: $max ({h_a},{h_b},{h_c}) < 1$Chứng minh rằng:  khi đó ta có   $S < frac{{sqrt 3 }}{3}$2)  Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện : ${l_a} + {l_b} + {l_c} = frac{{a + b + c}}{3}(frac{{ab}}{{a + b}} + frac{{bc}}{{b + c}} + frac{{ac}}{{a + c}})$Chứng minh rằng: $R ge 1$ 1
Nhận xét: Mệnh đề đảo nói chung không đúng.Thật vậy
Xét tam giác cân $ABC$ đỉnh $A$ có
$BC = \frac{1}{2};AH = 2$
Khi đó ${l_a} = AH = 2$
        $ \Rightarrow m{\rm{ax}}({l_a},{l_b},{l_c}) \ge {l_a} > 2$
Lại có $S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2} Như vậy tam giác này có  $S 1$
Với ví dụ này,nhận xét được chứng minh
$2/$ Không mất tổng quát,giả sử $a \ge b \ge c$,khi đó ta có
                              $\left\{ \begin{array}{l}
c{\rm{os}}\frac{A}{2} \le c{\rm{os}}\frac{B}{2} \le c{\rm{os}}\frac{C}{2}\\
\frac{{bc}}{{b + c}} \le \frac{{ac}}{{a + c}} \le \frac{{ab}}{{a + b}}
\end{array} \right.$
Vì thế áp dụng bất đẳng thức Trebusep,ta có:
${l_a} + {l_b} + {l_c} = 2(\frac{{ab}}{{a + b}}c{\rm{os}}\frac{C}{2} + \frac{{ac}}{{a + c}}c{\rm{os}}\frac{B}{2} + \frac{{bc}}{{b + c}}c{\rm{os}}\frac{A}{2})$
               $\ge \frac{2}{3}(c{\rm{os}}\frac{A}{2} + c{\rm{os}}\frac{B}{2} + c{\rm{os}}\frac{C}{2})(\frac{{a + b}}{{ab}} + \frac{{b + c}}{{bc}} + \frac{{a + c}}{{ac}})                 (1)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Mặt khác trong tam giác $ABC$ có:
                   $c{\rm{os}}\frac{A}{2} + c{\rm{os}}\frac{B}{2} + c{\rm{os}}\frac{C}{2} \ge \sin A + \sin B + \sin C                      (2)$
Dấu $“=”$ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều
Từ $(1)(2)$ và $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{{a + b + c}}{{2R}}$,ta có:
                  ${l_a} + {l_b} + {l_c} = \frac{{a + b + c}}{{3R}}(\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ac}}{{a + c}})                           (3)$
Bây giờ từ $(3)$ và giả thiết suy ra $R \ge 1$
Đó là (đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho tam giác $ABC$, có $b \ge c$. Chứng minh rằng :$l_b \le l_c$
  2. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $2A + 3B = \pi $            CMR: $4(a+b)\ \le 5c$
  3. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{2Rr}} \le \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \le \frac{1}{{4{r^2}}}$
  4. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:  $tanA+tanC=2tanB$            CMR: $\cos A + \cos C \le \frac{{3\sqrt 2 }}{4}$
  5. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$
  6. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$            CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
  7. Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng  minh rằng : $h_a \le \left( {1 + \sqrt 2 } \right)r \le R$
  8. Đề bài: $1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó  ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$   Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có  $A \ge B + 2C$. CMR khi đó  $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$
  9. Đề bài:  Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $m_a + m_b + m_c \le r_a + r_b + r_c$
  10. Đề bài: Cho $\triangle ABC$, chứng minh rằng: a.   $l_a\leq m_a$                                       b.$\frac{l_a+l_b}{c}+\frac{l_b+l_c}{a}+\frac{l_c+l_a}{b}\leq 3 \sqrt{3}$
  11. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{h_a}}}{{{l_a}}} \ge \sqrt {\frac{{2r}}{R}} $
  12. Đề bài: Cho $\triangle ABC$ chứng minh rằng:   $  \sin{\frac{A}{2}}. \sin{\frac{B}{2}}. \sin{\frac{C}{2}}  \leq \frac{1}{8}$
  13. Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{{m_a}}}{{{l_a}}} \ge \frac{{b + c}}{{2\sqrt {bc} }}$
  14. Đề bài: Gọi $m_{a},m_{b},m_{c} $ là độ dài tương ứng của $3$ đường trung tuyến kẻ từ $A,B,C$ của $\triangle ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c} $ là độ dài $3$ đường cao kẻ từ $A,B,C$ tương ứng.Chứng minh rằng :$\left ( m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2} \right )\left ( h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2} \right )\geq 27S^{2}$ với $S$ là diện tích $\triangle ABC$.
  15. Đề bài: Cho $\Delta  ABC$.Chứng minh rằng :a)  $\cos 2A-\cos 2B+\cos 2C\leq \frac{3}{2}$b)  $\cos 2A+\cos 2B-\cos 2C\leq \frac{3}{2}$

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.