Đề bài: Cho tam giác $ABC$, có $b \ge c$. Chứng minh rằng :$l_b \le l_c$

Lời giải

Đề bài:
Cho tam giác $ABC$, có $b \ge c$. Chứng minh rằng :$l_b \le l_c$
Lời giải

${l_b} \le {l_c} \Leftrightarrow {l_b}^2 \le {l_c}^2$
    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{ca}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}\left( {a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right) \le \frac{{ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{c}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}\left( {a – b + c} \right) \le \frac{b}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\left( {a + b – c} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{b}.\frac{{a – b + c}}{{a + c}} \le \frac{{a + c}}{c}.\frac{{a + b – c}}{{a + b}}\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 – \frac{b}{{a + c}}} \right) \le \left( {1 + \frac{a}{c}} \right)\left( {1 – \frac{c}{{a + b}}} \right)
\end{array}$
Bất đẳng thức này đúng vì $b \ge c$ nên $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{a}{b} \le \frac{a}{c}\\
\frac{b}{{a + c}} \ge \frac{c}{{a + b}}
\end{array} \right.$
Từ đó suy ra (đpcm).
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức trong tam giác