Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực. Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực. Lời giải Ta biến đổi $(1)$ tương … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực.

Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có:                    $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có:                    $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Ta có : … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có:                    $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$

Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3  \\ y^{2} +yz+z^{2}=16  \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời giải Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3  \\ y^{2} +yz+z^{2}=16  \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3  \\ y^{2} +yz+z^{2}=16  \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$

Đề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng:  $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$ Lời giải Đề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho  $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng:  $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$

Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $f,g:[0,1] \to  [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$

Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải a)Vì $x\leq y\leq z$, $0 nên:$\frac{x+y}{2}-px-qy=x(\frac{1}{2}-p)+y(\frac{1}{2}-q)$$\leq z(\frac{1}{2}-p)+z(\frac{1}{2}-q)=z(1-p-q)\leq z.r$$\Rightarrow px+qy+rz\geq \frac{x+y}{2}$b)Vì: vai trò $x,y,z$ như nhau,nên ta có … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $\begin{cases}0