Đề bài: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\geq 1$. Chứng minh rằng:   $\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\geq 1$. Chứng minh rằng:   $\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$
Lời giải

Ta có :
  $VT= 1.\sqrt{\ln a}+1.\sqrt{\ln b}\leq \sqrt{(1^2+1^2)(\ln a+\ln b)}=\sqrt{2\ln(ab)}=\sqrt{4\ln{\sqrt{ab}}}$
                    $ \displaystyle \leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
  $\begin{cases}\sqrt{\ln a}=\sqrt{\ln b} \\ a= b\end{cases}\Leftrightarrow a=b\geq1 $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki