Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$ luôn có:   $(x^3+y^3)^2\leq (x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$ luôn có:   $(x^3+y^3)^2\leq (x^2+y^2)(x^4+y^4)$
Lời giải

Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách $1$: ta có:
    $VP=(x^2+y^2)[(x^2)^2+(y^2)^2]\geq (x.x^2+y.y^2)^2=(x^3+y^3)^2$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
    $
\displaystyle \frac{x}{x^2}=\frac{y}{y^2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow x=y$.
Cách $2$: Ta có:
      $VT=(x^3+y^3)^2=(x.x^2+y.y^2)^2\leq (x^2+y^2)(x^4+y^4)$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi :
    $
\displaystyle \frac{x}{x^2}=\frac{y}{y^2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow x=y$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki