• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1; a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a+b+c}{3})^{n-1}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1; a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a+b+c}{3})^{n-1}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in Z,n \geq 1; a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a+b+c}{3})^{n-1}$
Lời giải

Xét $n=1:$
BĐT trở thành : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

$VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}
$( áp dụng BĐT Bunhiacopxki)

Mà $
ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow
VT\geq\frac{3}{2}$ (dpcm)

Xét $n \geq 2$
Xét $3$ dãy số:
$\frac{a}{\sqrt[n]{b+c}},\sqrt[n]{b+c},\underbrace {1,1,…,1}_{n-2 số};$
$\frac{b}{\sqrt[n]{c+a}},\sqrt[n]{c+a},\underbrace {1,1,…,1}_{n-2 số};$
$\frac{c}{\sqrt[n]{a+b}},\sqrt[n]{a+b},\underbrace {1,1,…,1}_{n-2 số}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski(mở rộng):
$(\frac{a}{\sqrt[n]{b+c}}.\sqrt[n]{b+c}.1.1..1+\frac{b}{\sqrt[n]{c+a}}.\sqrt[n]{c+a}.1.1..1+\frac{c}{\sqrt[n]{a+b}}.\sqrt[n]{a+b}.1.1..1)$
$\leq (\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b})(b+c+c+a+a+b).\underbrace {(1+1+1)+…+(1+1+1)}_{n-2 thừa số}$
$\Rightarrow (a+b+c)^{n} \leq (\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b})2(a+b+c).3^{n-2}$
$\Rightarrow \frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq  \frac{3}{2}(\frac{a+b+c}{3})^{n-1}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho \(a,b,c\geq -\frac{3}{4}\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\leq 3\sqrt{7}\).
  2. Đề bài: Cho  $\begin{cases}s,t,u,v \in (0;\frac{\pi}{2}) \\ s+t+u+v=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng:  $\frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}\geq 0$
  3. Đề bài: Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}          (1)$
  4. Đề bài: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$
  5. Đề bài: Cho \(6x+y=5\). Chứng minh rằng: \(9x^{2}+y^{2}\geq 5\).
  6. Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$
  7. Đề bài: Cho ba số thực dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$
  8. Đề bài: Cho $a^{2}+b^{2}=1$.Chứng minh: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
  9. Đề bài: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh : $\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\geq 1$.
  10. Đề bài: Với $a,b,c,x,y,z$ là những số thực bất kì, chứng minh rằng :$|ax+by+cz|\leq  \sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}  $
  11. Đề bài: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\geq 1$. Chứng minh rằng:   $\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$
  12. Đề bài: Cho: $\begin{cases}a+b+c+d=7 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=13 \end{cases}$ Chứng minh rằng: $1\leq a,b,c,d\leq \frac{5}{2}$
  13. Đề bài: Cho $a,b,c>0$ và $a^4+b^4+c^4=48$. Chứng minh $ab^2+bc^2+ca^2\leq 24$.
  14. Đề bài: Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
  15. Đề bài: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a>b>c>0$. Chứng minh rằng:    $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.