• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

adsense
Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$
Lời giải

adsense

 a) Xét $(a+b)^2=(1.a+1.b)^2$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, (xem bài 107277 )ta có:
$(a+b)^2=(1.a+1.b)^2 \leq (1^2+1^2)(a^2+b^2)     \Rightarrow    (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$
Ta lại có: $a^2+b^2 =1.a^2+1.b^2  \leq \sqrt{(1^2+1^2)(a^4+b^4)} = \sqrt{2}. \sqrt{a^4+b^4}   $
         $\Rightarrow  2(a^2+b^2) \leq 2 \sqrt{2}. \sqrt{a^4+b^4}  \Rightarrow    (a+b)^4 \geq 8(a^4+b^4)$.

b) Ta chứng minh:   $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)-6abc \geq 0$
        $\Leftrightarrow   (a^2-2abc+b^2c^2)+(b^2-2abc+a^2c^2)+(c^2-2abc+c^2b^2) \geq 0$
        $\Leftrightarrow   (a-bc)^2+(b-ac)^2+(c-ab)^2  \geq 0$
Bất đẳng thức cuối cùng này đúng, suy ra đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$
  2. Đề bài: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc = 1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                            $P = \frac{bc}{a^2b + a^2c} + \frac{ac}{b^2a + b^2c} + \frac{ab}{c^2a + c^2b}$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ tùy ý, ta có:  $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
  4. Đề bài: Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$
  5. Đề bài: Cho: $\begin{cases}a_{1}a_{2}…a_{n}>0\left ( n\in Z,n\geq 2 \right ) \\a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+…+a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}=1\\S=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}  \end{cases}$Chứng minh rằng :$\sum\limits_{i=1}^n \frac{a_{i}^{3}}{S-a_{i}}\geq \frac{1}{n-1}$
  6. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$ luôn có:   $(x^3+y^3)^2\leq (x^2+y^2)(x^4+y^4)$
  7. Đề bài: Cho $f$ liên tục trên $[a;+\infty ) (a>0)$ thỏa $ \int\limits_{a}^{t}f^2(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} x^2dx, \forall t \geq a$.Chứng minh rằng : $\int\limits_{a}^{t}f(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} xdx, \forall t \geq a.$
  8. Đề bài: Cho: $36x^{2}+16y^{2}=9$.Chứng minh rằng:$\frac{15}{4}\leq y-2x+5 \leq \frac{25}{4}$
  9. Đề bài: Chứng minh rằng : $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \sqrt{6}$.Trong đó $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.
  10. Đề bài: Biện luận theo tham số $a$ về số nghiệm của phương trình :$\sqrt {2 – x^2} {sinx} + \sqrt {2 + x^2} \cos x = \left| {a + 1} \right| + \left| {a – 1} \right|$
  11. Đề bài:   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình :           $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$
  12. Đề bài: Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng:     $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
  13. Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                           $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i}  = a$
  14. Đề bài: Cho: $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4 \\ z^{2}+t^{2}=9\\xt+yz\geq 6 \end{cases}$Chứng minh rằng: $xz \leq 3$
  15. Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC,S$ là diện tích.Nếu  $p,q,r>0$ thì: $\frac{p}{q+r}a^{2}+\frac{q}{r+p}b^{2}+\frac{r}{p+q}c^{2} \geq 2\sqrt{3}S$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.