Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$
Lời giải

 a) Xét $(a+b)^2=(1.a+1.b)^2$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, (xem bài 107277 )ta có:
$(a+b)^2=(1.a+1.b)^2 \leq (1^2+1^2)(a^2+b^2)     \Rightarrow    (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$
Ta lại có: $a^2+b^2 =1.a^2+1.b^2  \leq \sqrt{(1^2+1^2)(a^4+b^4)} = \sqrt{2}. \sqrt{a^4+b^4}   $
         $\Rightarrow  2(a^2+b^2) \leq 2 \sqrt{2}. \sqrt{a^4+b^4}  \Rightarrow    (a+b)^4 \geq 8(a^4+b^4)$.

b) Ta chứng minh:   $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)-6abc \geq 0$
        $\Leftrightarrow   (a^2-2abc+b^2c^2)+(b^2-2abc+a^2c^2)+(c^2-2abc+c^2b^2) \geq 0$
        $\Leftrightarrow   (a-bc)^2+(b-ac)^2+(c-ab)^2  \geq 0$
Bất đẳng thức cuối cùng này đúng, suy ra đpcm.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki