Đề bài: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ tùy ý, ta có:  $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ tùy ý, ta có:  $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski ta có:
   ${VT}^2=(ab+bc+ca)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)=(a^2+b^2+c^2)^2$
   $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq |ab+bc+ca|\geq ab+bc+ca$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi:
   $ \displaystyle \begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\\ ab+bc+ca\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c$

Cách $2$:
ta có: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ (đpcm)
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki