Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$, ta có:   $a+2b+3c\leq \sqrt{14}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$, ta có:   $a+2b+3c\leq \sqrt{14}$
Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacôpski ta có ngay:
    $a+2b+3c=a.1+b.2+c.3\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2)}=\sqrt{14}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
    $
\displaystyle \begin{cases}a^2+b^2+c^2=1 \\ \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}\geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+4a^2+9a^2=1 \\ b=2a\geq0 \\c=3a\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{14}}, b=\frac{2}{\sqrt{14}}, c=\frac{3}{\sqrt{14}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki