Lời giải
Đề bài:
Cho ba số thực dương $a,b,c$ chứng minh rằng: $\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Lời giải
Ta có ngay:
$
\displaystyle [(a+b)(b+c)(c+a)](\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a})\geq (a+b+c)^2$
$
\displaystyle \Leftrightarrow 2(a+b+c)(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a})\geq (a+b+c)^2$
$
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$, đcmp.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
$
\displaystyle \frac{c^2}{(a+b)^2}=\frac{a^2}{(c+b)^2}=\frac{b^2}{(c+a)^2}\Leftrightarrow \frac{c}{a+b}=\frac{a}{c+b}=\frac{b}{c+a}\Leftrightarrow a=b=c$.
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Trả lời