Lời giải
Đề bài:
Cho $\begin{cases}x,y,z \in [0;1] \\ x+y+z=\frac{3}{2} \end{cases}$Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x,y,z)=\cos^2 (x^2+y^2+z^2)$
Lời giải
+ Tìm GTLN:
* Theo BĐT Bunhiacopski:
$x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=\frac{3}{4}$
* Hơn nữa: $x^2+y^2+z^2 \leq x+y+z=\frac{3}{2}$ \Rightarrow \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2} \Rightarrow \max f= \cos\frac{3}{4}$
+ Tìm GTNN:
Giả sử: $x\geq y\geq z $ $\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq1 $
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 =x^2+(y+z)^2-2yz=x^2+(\frac{3}{2}-x)^2-2yz$
$\leq 2x^2-3x+\frac{9}{4}$ (Do $yz>0$)
$ \leq \frac{5}{4}+2(x-1)(x-\frac{1}{2}) \leq \frac{5}{4}$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \leq \frac{5}{4}\leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos (x^2+y^2+z^2 )\geq \cos\frac{5}{4} $
Dấu $”=”$ xảy ra chẳng hạn: $ \begin{cases}x= 1\\ y=0\\ z=\frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \min f=\cos\frac{5}{4} $
=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Trả lời