Đề bài: Chứng minh rằng  $\forall a,b > 0,\,\forall x,y \in R$ ta có:$\sqrt {{{25}^x} + {9^y} + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1}  \ge a{.5^x} + b{.3^y} + 1\,\,\,\,(1)$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng  $\forall a,b > 0,\,\forall x,y \in R$ ta có:$\sqrt {{{25}^x} + {9^y} + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1}  \ge a{.5^x} + b{.3^y} + 1\,\,\,\,(1)$
Lời giải

$1)$   Các vế không âm, nên bình phương và rút gọn hai vế ta có:
$\begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow \,\,\left( {{a^2}{9^y} – 2ab{5^x}{{.3}^y} + {b^2}{{25}^x}} \right) + \left( {{{25}^x} – 2a{5^x} + {a^2}} \right) + \left( {{9^y} – 2b{3^y} + {b^2}} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {a{{.3}^y} – b{{.5}^x}} \right)^2} + {\left( {{5^x} – a} \right)^2} + {\left( {{3^y} – b} \right)^2} \ge 0(2)
\end{array}$
Vế trái của (2) là tổng các bình phương nên (2) đúng, do vậy $(1)$ đúng.(đpcm)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki