Đề bài: Cho $f$ liên tục trên $[a;+\infty ) (a>0)$ thỏa $ \int\limits_{a}^{t}f^2(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} x^2dx, \forall t \geq a$.Chứng minh rằng : $\int\limits_{a}^{t}f(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} xdx, \forall t \geq a.$

Lời giải

Đề bài:
Cho $f$ liên tục trên $[a;+\infty ) (a>0)$ thỏa $ \int\limits_{a}^{t}f^2(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} x^2dx, \forall t \geq a$.Chứng minh rằng : $\int\limits_{a}^{t}f(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} xdx, \forall t \geq a.$
Lời giải

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski :
$ \left ( \int\limits_{a}^{t}xf(x)dx  \right )^2 \leq  \int\limits_{a}^{t} x^2dx. \int\limits_{a}^{t}f^2(x)dx \leq  \left ( \int\limits_{a}^{t}x^2dx  \right )^2, \forall t \geq a$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{t}xf(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t}x^2dx, \forall t \geq a   \Rightarrow  F(t) \equiv  \int\limits_{a}^{t}x[x-f(x)]dx \geq 0 , \forall t \geq a$
Mặt khác : Đặt $ \begin{cases}du=x[x-f(x)]dx \\ v=\frac{1}{x}  \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}u=F(x) \\ dv= -\frac{dx}{x^2} \end{cases}  (Vì  F'(t) = t [t-F(t)])$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{t}[x-f(x)]dx = \left ( \frac{1}{x}F(x)  \right )\left| \begin{array}{l}
t\\
a
\end{array} \right. + \int\limits_{a}^{t}\frac{F(x)}{x^2}dx = \frac{F(t)}{t} + \int\limits_{a}^{t}\frac{F(x)}{x^2}dx \geq 0, \forall x \geq a$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{t}xdx \geq \int\limits_{a}^{t}f(x)dx , \forall t \geq a$      

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki