Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$
Lời giải

Ta có biến đổi $
\displaystyle \frac{4}{3}\geq a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=a^2+b^2+c^2-(a+b+c)$
                           $
\displaystyle =\frac{1}{3}(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2-(a+b+c)$
                           $\Leftrightarrow (a+b+c)^2-3(a+b+c)-4\leq 0\Leftrightarrow -1\leq a+b+c\leq 4$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi : $
\displaystyle \begin{cases}a=b=c \\ a+b+c=4 \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki