Đề bài:   Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình :           $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$

Lời giải

Đề bài:
  Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$. Sử dụng kết quả tìm được để giải phương trình :           $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$
Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi: $\begin{cases}x-2\geq 0 \\ 4-x\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 2\leq x \leq 4$ ta có: $y\geq 0$
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với $4$ số $1,1,\sqrt{x-2},\sqrt{4-x}$:
  $1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x}\leq \sqrt{(1^2+1^2)[(\sqrt{x-2})^2+(\sqrt{4-x})^2]}$
$\leq \sqrt{2[x-2+4-x]}=2$
Do đó: $y\leq 2$ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
  $\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x} \Leftrightarrow x-2=4-x \Leftrightarrow x=3$  (thỏa mãn điều kiện)
Vậy: $\max y=2$ khi $x=3        (1)$
Áp dụng giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11$
Ta có vế trái phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \leq 2$ và dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=3$
Vế phải của phương trình $x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=(x-3)^2+2$
$\Rightarrow x^2-6x+11 \geq 2$ và dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=3   (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ cho ta phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$ và thỏa điều kiện: $2\leq x \leq 4$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki