Đề bài: Cho $a^{2}+b^{2}=1$.Chứng minh: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $a^{2}+b^{2}=1$.Chứng minh: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
Lời giải

Áp dụng BĐT BCS 2 lần:
$\left ( a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1} \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( b+1+a+1 \right )$
Mà  $2+(1.a+1.b)\leq 2+\sqrt{1^{2}+1^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2+\sqrt{2}$
Vậy: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki