Đề bài: Cho: $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4 \\ z^{2}+t^{2}=9\\xt+yz\geq 6 \end{cases}$Chứng minh rằng: $xz \leq 3$

Lời giải

Đề bài:
Cho: $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4 \\ z^{2}+t^{2}=9\\xt+yz\geq 6 \end{cases}$Chứng minh rằng: $xz \leq 3$
Lời giải

Theo BĐT Bunhiacopski:
$6\leq xt+yz \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{ t^{2}+z^{2}}=6$
$\Rightarrow \begin{cases}xt+yz=6 \\ xz=ty \end{cases}$(Dấu “=” của BĐT Bunhiacopski)
$\Rightarrow 2xz=xz+yt \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{ z^{2}+t^{2}}=6$
$\Rightarrow xz \leq 3 \Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki