Đề bài: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. ta luôn có:   $a^4+b^4+c^4\geq \frac{16}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. ta luôn có:   $a^4+b^4+c^4\geq \frac{16}{3}$
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpski ta có:
   $
\displaystyle VT=\frac{1}{3}(1^2+1^2+1^2)(a^4+b^4+c^4)\geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$
              $
\displaystyle \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2=\frac{16}{3}$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi :
    $
\displaystyle \begin{cases}ab+bc+ca=4 \\ a=b=c \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki