Đề bài: Cho các số thực $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$. Chứng minh rằng:  $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yz)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3} .  (1)$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$. Chứng minh rằng:  $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yz)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3} .  (1)$
Lời giải

Đặt $
\displaystyle a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z},d=\frac{1}{t}$, suy ra:
    $
\displaystyle (1)\Leftrightarrow S=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$
Với $abcd=1;    a,b,c,d>0$
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôski, ta có:
     $S[(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)]\geq (a+b+c+d)^2$    
      $
\displaystyle \Rightarrow S\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{3(a+b+c+d)}=\frac{1}{3}(a+b+c+d)         (2)$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
    $
\displaystyle \frac{1}{4}(a+b+c+d)\geq \sqrt[4]{abcd}=1\Rightarrow \frac{1}{3}(a+b+c+d)\geq \frac{4}{3}       (3)$
Từ $(2),(3)$ suy ra: $
\displaystyle S\geq \frac{4}{3}$, đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=1\Leftrightarrow x=y=z=t=1$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki