Đề bài:  Cho phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=m                              (1)$Tìm $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải

Đề bài:
 Cho phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=m                              (1)$Tìm $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất.
Lời giải

* Điều kiện cần: Tháy rằng $x_0$ là nghiệm của $(1)$ thì $3-x_0$ cũng là nghiệm của phương trình $(1)$. Bởi thế điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất là $x_0=3-x_0$
$\Leftrightarrow x_0=\frac{3}{2}$. Thay vào $(1)$ sẽ có $m=\frac{5}{2}+\sqrt{10}            (2)$
* Điều kiện đủ: Với $m=\frac{5}{2}+\sqrt{10} $, phương trình $(1)$ trở thành
  $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=\frac{5}{2}+\sqrt{10}                    (3)$
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski: $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x} \leq \sqrt{1+1}\sqrt{1+4}=\sqrt{10}      (4)$
Theo bất đẳng thức Cô-si: $\sqrt{(x+1)(4-x)} \leq \frac{x+1+4-x}{2}=\frac{5}{2}              (5)$
Công vế theo vế các kết quả $(4),(5)$ ta có:
        $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)} \leq \frac{5}{2}+\sqrt{10}$
Dấu đẳng thức có khi trong $(4)$ và $(5)$ đồng thời xảy ra $\Leftrightarrow 1+x=4-x$
$\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$. Suy ra phương trình $(3)$ nghiệm duy nhất là $x=\frac{3}{2}    (6)$
Từ $(2),(6)$ kết luận phương trình $(1)$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
             $m=\frac{5}{2}+\sqrt{10}  $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki