Đề bài: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a>b>c>0$. Chứng minh rằng:    $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a>b>c>0$. Chứng minh rằng:    $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$
Lời giải

Ta có $VT=\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\leq \sqrt{[c+(b-c)][(a-c)+c]}=\sqrt{ab}$, đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
    $
\displaystyle \frac{\sqrt{a-c}}{\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b-c}}\Leftrightarrow c=\sqrt{(a-c)(b-c)}\Leftrightarrow c^2=ab-c(a+b)+c^2\Leftrightarrow c=\frac{ab}{a+b}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki