Đề bài: Cho $ab+bc+ca=4.$Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $ab+bc+ca=4.$Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski  $2$ lần:
$16=\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left (b^{2}+c^{2}+ a^{2} \right )=(a^2+b^2+c^2)^2$
Mà  $\left (  1.a^{2} +1.b^{2}+1.c^{2}\right )^{2}$$\leq \left (  1^{2} +1^{2}+1^{2}\right )\left (  a^{4} +b^{4}+c^{4}\right )=3(a^4+b^4+c^4)$
Vậy: $  a^{4} +b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki