Đề bài: Cho $1\leq n \in N,a_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n})^{2}\leq \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}{n} $

Lời giải

Đề bài:
Cho $1\leq n \in N,a_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n})^{2}\leq \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}{n} $
Lời giải

$n=1$:Bất đẳng thức luôn đúng.
$n=k (k \in N,k\geq 2)$: Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:
$(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{k}}{k})^{2}\leq \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}}{k} $
$n=k+1$: ta sẽ chứng minh:
$(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{k+1}}{k+1})^{2}\leq \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k+1}^{2}}{k+1} $   $(1)$
Đặt: $a=\frac{a_{2}+a_{3}+…+a_{k+1}}{k}$
VT $(1)=\frac{1}{(k+1)^{2}}(a_{1}^{2}+k^{2}.a^{2}+2ka_{1}.a)$
$\leq \frac{1}{(k+1)^{2}}[a_{1}^{2}+k^{2}.\frac{a_{2}^{2}+…+a_{k+1}^{2}}{k}+k(a_{1}^{2}+a^2)]$
$\leq \frac{1}{(k+1)^{2}}[a_{1}^{2}+k^{2}.\frac{a_{2}^{2}+…+a_{k+1}^{2}}{k}+ka_{1}^{2} +k.\frac{a_{2}^{2}+…+a_{k+1}^{2}}{k}]$
$=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k+1}^{2}}{k+1}$
$\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki