Đề bài: Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$

Lời giải

Đề bài:
Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$
Lời giải

Trước hết ta nhận thấy rằng : $ 1 \leq  f(x) \leq  2 , \forall x \in  [0;1]$
$ \Rightarrow \frac{1}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x  \in  [0;1]  \Rightarrow  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in  [0;1] $
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
        $ 1 = \left ( \int\limits_{0}^{1} \sqrt{f(x)}. \frac{1}{\sqrt{f(x)} }dx    \right )^2 \leq  \int\limits_{0}^{1} f(x)dx . \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
         $\Rightarrow \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
Măt khác, ta có : $[f(x) – 1].[f(x)-2] \leq  0 , \forall x  \in  [0;1]$
                      $\Rightarrow [f(x)]^2 – 3f(x) + 2 \leq  0 , \forall x  \in  [0;1]$
                      $\Rightarrow f(x) + \frac{2}{f(x)} \leq  3, \forall x  \in  [0;1]$
Để ý rằng dấu $”=”$ không thể xảy ra với mọi $ x \in  [0;1]$. Quả vậy, nếu dấu $”=”$ xảy ra với mọi $ x \in  [0;1]$ thì $ f  \equiv  1$ hoặc $f \equiv  2 $
Bởi vậy nếu có $ x_1, x_2 \in  [0;1]$ sao cho $ f(x_1) =1  và  f(x_2) = 2$ thì có $x_3 \in  [0;1]$ để $ f(x_3) = \frac{3}{2},$ mâu thuẫn.
Do vậy chỉ có thể :
* Hoặc $ f(x) =1 , \forall x \in  [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx  =1 $ ( mâu thuẫn)
* Hoặc $ f(x) =2 , \forall x \in  [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = 2 $ ( mâu thuẫn )
Thành thử , ta đi đến kết luận : $ f(x) = \frac{2}{f(x)} $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x)dx + 2 \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}  Tóm lại : $\frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki