• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

adsense
Đề bài: Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$
Lời giải

adsense

Trước hết ta nhận thấy rằng : $ 1 \leq  f(x) \leq  2 , \forall x \in  [0;1]$
$ \Rightarrow \frac{1}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x  \in  [0;1]  \Rightarrow  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in  [0;1] $
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
        $ 1 = \left ( \int\limits_{0}^{1} \sqrt{f(x)}. \frac{1}{\sqrt{f(x)} }dx    \right )^2 \leq  \int\limits_{0}^{1} f(x)dx . \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
         $\Rightarrow \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
Măt khác, ta có : $[f(x) – 1].[f(x)-2] \leq  0 , \forall x  \in  [0;1]$
                      $\Rightarrow [f(x)]^2 – 3f(x) + 2 \leq  0 , \forall x  \in  [0;1]$
                      $\Rightarrow f(x) + \frac{2}{f(x)} \leq  3, \forall x  \in  [0;1]$
Để ý rằng dấu $”=”$ không thể xảy ra với mọi $ x \in  [0;1]$. Quả vậy, nếu dấu $”=”$ xảy ra với mọi $ x \in  [0;1]$ thì $ f  \equiv  1$ hoặc $f \equiv  2 $
Bởi vậy nếu có $ x_1, x_2 \in  [0;1]$ sao cho $ f(x_1) =1  và  f(x_2) = 2$ thì có $x_3 \in  [0;1]$ để $ f(x_3) = \frac{3}{2},$ mâu thuẫn.
Do vậy chỉ có thể :
* Hoặc $ f(x) =1 , \forall x \in  [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx  =1 $ ( mâu thuẫn)
* Hoặc $ f(x) =2 , \forall x \in  [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = 2 $ ( mâu thuẫn )
Thành thử , ta đi đến kết luận : $ f(x) = \frac{2}{f(x)} $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x)dx + 2 \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}  Tóm lại : $\frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho  $\begin{cases}s,t,u,v \in (0;\frac{\pi}{2}) \\ s+t+u+v=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng:  $\frac{\sqrt{2}\sin s-1}{\cos s}+\frac{\sqrt{2}\sin t-1}{\cos t}+\frac{\sqrt{2}\sin u-1}{\cos u}+\frac{\sqrt{2}\sin v-1}{\cos v}\geq 0$
  2. Đề bài: Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}          (1)$
  3. Đề bài: Cho $ab+bc+ca=4.$Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{16}{3}$
  4. Đề bài: Cho \(a,b,c\geq -\frac{3}{4}\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{4a+3}+\sqrt{4b+3}+\sqrt{4c+3}\leq 3\sqrt{7}\).
  5. Đề bài: Cho $y=\sqrt{acos^2x+bsin^2x+c}+\sqrt{asin^2x+bcos^2x+c}  $Với $a > 0,b > 0,c > 0$.  Tìm $\min y, \max y$
  6. Đề bài: Cho ba số thực dương $a,b,c$ chứng minh rằng:    $\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$
  7. Đề bài: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ thì $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9$
  8. Đề bài: Cho \(6x+y=5\). Chứng minh rằng: \(9x^{2}+y^{2}\geq 5\).
  9. Đề bài: Với $a,b,c,x,y,z$ là những số thực bất kì, chứng minh rằng :$|ax+by+cz|\leq  \sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{x^2+y^2+z^2}  $
  10. Đề bài: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a,b\geq 1$. Chứng minh rằng:   $\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\leq 2\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}$
  11. Đề bài: Cho $a^{2}+b^{2}=1$.Chứng minh: $a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
  12. Đề bài: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh : $\frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\geq 1$.
  13. Đề bài: Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
  14. Đề bài: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a>b>c>0$. Chứng minh rằng:    $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$
  15. Đề bài: Cho: $\begin{cases}a+b+c+d=7 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=13 \end{cases}$ Chứng minh rằng: $1\leq a,b,c,d\leq \frac{5}{2}$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.