Đề bài: Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Lời giải

Đề bài:
Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Lời giải

Giả thiết: $x^{2}\geq x^{3}+y^{4}-y^{3}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}-y^{3}+y^{2}$
                      $\geq x^{3}+y^{3}+y^{4}-2y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{3}+\left ( y^{2}-y \right )^{2}\geq x^{3}+y^{3}$
$x^{2}+y^{2}\geq x^{3}+y^{3}$ $\left ( 1 \right )$
Theo BĐT Bunhiacopski:
$\left (x^{2}+y^{2} \right )^{2}=\left (x^{\frac{3}{2}}.x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{3}{2}}.y^{\frac{1}{2}} \right )^{2}$
$\leq \left (x^{3}+y^{3} \right )\left ( x+y \right )\leq \left (x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ $\left ( 2 \right )$
Theo BĐT Bunhiacopski 2 lần:
$x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq \sqrt{2\left (x^{2}+y^{2} \right )}$
$\Rightarrow \left (x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq 2\left (x^{2}+y^{2} \right )$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$
$\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2\left (x^{2}+y^{2} \right )}\leq 2$  $\left ( 3 \right )$
$\left ( 1 \right )$,$\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right ) \Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki