• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Đề bài: Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho: $\begin{cases}x,y>0 \\ x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \end{cases}$Chứng minh rằng : $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Lời giải

Giả thiết: $x^{2}\geq x^{3}+y^{4}-y^{3}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}-y^{3}+y^{2}$
                      $\geq x^{3}+y^{3}+y^{4}-2y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{3}+\left ( y^{2}-y \right )^{2}\geq x^{3}+y^{3}$
$x^{2}+y^{2}\geq x^{3}+y^{3}$ $\left ( 1 \right )$
Theo BĐT Bunhiacopski:
$\left (x^{2}+y^{2} \right )^{2}=\left (x^{\frac{3}{2}}.x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{3}{2}}.y^{\frac{1}{2}} \right )^{2}$
$\leq \left (x^{3}+y^{3} \right )\left ( x+y \right )\leq \left (x^{2}+y^{2} \right )\left ( x+y \right )$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ $\left ( 2 \right )$
Theo BĐT Bunhiacopski 2 lần:
$x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq \sqrt{2\left (x^{2}+y^{2} \right )}$
$\Rightarrow \left (x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq 2\left (x^{2}+y^{2} \right )$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$
$\Rightarrow x+y\leq \sqrt{2\left (x^{2}+y^{2} \right )}\leq 2$  $\left ( 3 \right )$
$\left ( 1 \right )$,$\left ( 2 \right )$,$\left ( 3 \right ) \Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                           $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i}  = a$
  2. Đề bài: Cho: $\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4 \\ z^{2}+t^{2}=9\\xt+yz\geq 6 \end{cases}$Chứng minh rằng: $xz \leq 3$
  3. Đề bài: Cho $a,b,c$ là $3$ cạnh $\triangle ABC,S$ là diện tích.Nếu  $p,q,r>0$ thì: $\frac{p}{q+r}a^{2}+\frac{q}{r+p}b^{2}+\frac{r}{p+q}c^{2} \geq 2\sqrt{3}S$
  4. Đề bài:  Cho $a_1,a_2,…a_n,b_1,b_2,…,b_n$ là các số dương. Chứng minh      $\sqrt[n]{(a_1+b_1)(a_2+b_2)…(a_n+b_n)} \geq \sqrt[n]{a_1a_2…a_n}+\sqrt[n]{b_1b_2…b_3}$
  5. Đề bài: Cho:$x^{2}+y^{2}=u^{2}+v^{2}=1$.Chứng minh rằng:$-\sqrt{2}\leq x(u+v)+y(u-v)\leq \sqrt{2}$
  6. Đề bài: Cho $a
  7. Đề bài: $\alpha ,\beta , \gamma $  là 3 góc dương thỏa mãn điều kiện $\alpha  + \beta  + \gamma  = \frac{\pi }{2}$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  $g = \sqrt {1 + \tan\alpha \tan\beta }  + \sqrt {1 + \tan\beta \tan\gamma }  + \sqrt {1 + \tan\gamma \tan\alpha } $
  8. Đề bài: Giải bất phương trình:              $|x|\sqrt{1-x}+|x-1|\sqrt{x}\leq 1$
  9. Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1; a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{c+a}+\frac{c^{n}}{a+b} \geq \frac{3}{2}(\frac{a+b+c}{3})^{n-1}$
  10. Đề bài: $1.$ Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}  $$2.$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:   $y=\sin x\sqrt{\cos x}+\cos x\sqrt{\sin x}  $
  11. Đề bài: Cho các số thực $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$. Chứng minh rằng:  $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yz)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3} .  (1)$
  12. Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$
  13. Đề bài:  Cho phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{(x+1)(4-x)}=m                              (1)$Tìm $m$ để phương trình có nghiệm duy nhất.
  14. Đề bài: Cho $a,b,c,p,q$ là năm số dương tùy ý. Chứng minh:         $\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\geq \frac{3}{p+q}             (1)$
  15. Đề bài: Cho các số $a_1,a_2,b_1,b_2$. Chứng minh rằng:    $\sqrt {{{\left( {{a_1} + {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} + {b_2}} \right)}^2}}  \le \sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2}  + \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} $

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.