Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                           $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i}  = a$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n$ là một số tự nhiên và $a \in [ 0; n ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                           $| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2x_i} }|$, biết rằng $\sum\limits_{i = 1}^n {\sin^2}{x_i}  = a$
Lời giải

Ta có:
    $\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin 2{x_i}} } \right| = 2\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {\sin {x_i}\cos {x_i}} } \right| \le 2{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\sin }^2}{x_i}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\cos }^2}{x_i}} } } \right)^{1/2}}$
$ = 2{\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\sin }^2}{x_i}(1 – \sum\limits_1^n {{{\sin }^2}{x_i})} } } \right]^{1/2}} = 2\sqrt {a(n – a)} $
Dấu = xảy ra khi ${x_1} = {x_2} = … = {x_n} = \arcsin \sqrt {\frac{a}{n}} $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki