Đề bài: Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng:     $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$

Lời giải

Đề bài:
Cho các số thực $x,y\geq 1$ chứng minh rằng:     $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$
Lời giải

Lần lượt ta có:
      $
\displaystyle x\sqrt{(y-1).1}\leq x.\frac{(y-1)+1}{2}=\frac{xy}{2}$
      $
\displaystyle y\sqrt{(x-1).1}\leq y.\frac{(x-1)+1}{2}=\frac{xy}{2}$.
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
      $\begin{cases}x-1=1 \\ y-1=1 \end{cases}\Leftrightarrow x=y=2$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki