• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

adsense
Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$
Lời giải

adsense

Trước tiên, ta đi chứng minh: $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}.   (*)$
Thật vậy, bất đẳng thức $(*)$ tương đương với:
$
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}- \frac{4}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$, luôn đúng.
Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b$.
Từ đó:
  $
\displaystyle 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})]$
                                  $
\displaystyle 
\geq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x})
$
                                  $
\displaystyle =(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})+(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})+(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})
$
                                  $
\displaystyle \geq \frac{4}{x+2y+z}+\frac{4}{x+y+2z}+\frac{4}{2x+y+z}
$
$
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi $
\displaystyle x=y=z=\frac{3}{4}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Bất đẳng thức Bunhiacốpxki

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $x^2+y^2=1, u^2+v^2=1$. Chứng minh $|x(u+v)+y(u-v)|\leq \sqrt{2}$.
  2. Đề bài: Cho $1\leq n \in N,a_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(\frac{a_{1}+a_{2}+…+a_{n}}{n})^{2}\leq \frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}}{n} $
  3. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2= 1$, ta có:   $a+2b+3c\leq \sqrt{14}$
  4. Đề bài: Cho \(x^{2}+y^{2}=2\) (\(x,y>0\)). Tìm giá trị lớn nhất của \((x+y)xy\).
  5. Đề bài: Chứng minh các bất đẳng thức:a) $(a+b)^4  \leq 8(a^4+b^4) $         b) $a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2) > 6abc.$
  6. Đề bài: Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)\leq \frac{4}{3}$.Chứng minh rằng $a+b+c\leq 4$
  7. Đề bài: Chứng minh rằng : $\int\limits_{0}^{\pi}e ^{\sin^2x}dx > \frac{3\pi}{2}$
  8. Đề bài: Chứng minh rằng  $\forall a,b > 0,\,\forall x,y \in R$ ta có:$\sqrt {{{25}^x} + {9^y} + 1} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1}  \ge a{.5^x} + b{.3^y} + 1\,\,\,\,(1)$
  9. Đề bài: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. ta luôn có:   $a^4+b^4+c^4\geq \frac{16}{3}$
  10. Đề bài: Cho $f : [0;1] \rightarrow  [1;2]$ liên tục trên $[0;1]$ thỏa : $ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$Chứng minh rằng : $ \frac{2}{3} \leq  \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$
  11. Đề bài: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $abc = 1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:                            $P = \frac{bc}{a^2b + a^2c} + \frac{ac}{b^2a + b^2c} + \frac{ab}{c^2a + c^2b}$
  12. Đề bài: Chứng minh rằng với ba số thực $a,b,c$ tùy ý, ta có:  $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$
  13. Đề bài: Cho $f$ liên tục trên $[a;+\infty ) (a>0)$ thỏa $ \int\limits_{a}^{t}f^2(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} x^2dx, \forall t \geq a$.Chứng minh rằng : $\int\limits_{a}^{t}f(x)dx \leq  \int\limits_{a}^{t} xdx, \forall t \geq a.$
  14. Đề bài: Cho: $\begin{cases}a_{1}a_{2}…a_{n}>0\left ( n\in Z,n\geq 2 \right ) \\a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+…+a_{n-1}a_{n}+a_{n}a_{1}=1\\S=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}  \end{cases}$Chứng minh rằng :$\sum\limits_{i=1}^n \frac{a_{i}^{3}}{S-a_{i}}\geq \frac{1}{n-1}$
  15. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y$ luôn có:   $(x^3+y^3)^2\leq (x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.