Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số dương $x,y,z$ thoả mãn : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1.$
Lời giải

Trước tiên, ta đi chứng minh: $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}.   (*)$
Thật vậy, bất đẳng thức $(*)$ tương đương với:
$
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}- \frac{4}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\geq 0$, luôn đúng.
Dấu $”=”$ xảy ra khi $a=b$.
Từ đó:
  $
\displaystyle 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})]$
                                  $
\displaystyle 
\geq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x})
$
                                  $
\displaystyle =(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z})+(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})+(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})
$
                                  $
\displaystyle \geq \frac{4}{x+2y+z}+\frac{4}{x+y+2z}+\frac{4}{2x+y+z}
$
$
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$, đpcm.
Dấu $”=”$ xảy ra khi $
\displaystyle x=y=z=\frac{3}{4}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Bunhiacốpxki