Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\)   (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^{2}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow a+a+2+2\sqrt{a(a+2)}\leq 4(a+1)\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt{a(a+2)}\leq 2(a+1) \\\Leftrightarrow \sqrt{a(a+2)}\leq a+1\)\(\Leftrightarrow a(a+2)\leq (a+1)^{2} \\\Leftrightarrow 2a+a^{2}\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a>0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}<2\sqrt{a+1}\)   (1)

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b \\\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+2\geq 2ab+2a+2b\)\(\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}+a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1\geq 0\)\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\) đúng, \(\forall a,b,c\in R\).Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b  \forall a,b,c\in R\).

Đề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab}\geq 0\)\(\Leftrightarrow \frac{ab-a^{2}}{(1+a^{2})(1+ab)}+\frac{ab-b^{2}}{(1+b^{2})(1+ab)}\geq 0\)\(\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với \(a\geq b\geq 1: \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}\)  (1)

Đề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\). Lời giải Ta có:\(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc \\\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab+ac-2bc\geq 0\)\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{2}-b+c \right )^{2}\geq 0\) (đúng)\(\Rightarrow \)đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{2}-b+c=0$. ========= Chuyên mục: Bất đẳng thức … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}\geq ab-ac+2bc\).

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\). Lời giải Ta có: \(a^{2}+b^{2}+4\geq ab+2(a+b)\)\(\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}+4\geq 2ab+4a+4b\)$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)\ge 0$\(\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-2)^{2}+(b-2)^{2}\geq 0\) (đúng) \(\Rightarrow \) đpcm.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} a=b\\ a=2\\b=2 … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{2}+b^{2}+2\geq ab+2(a+b)\).

Đề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\). Lời giải Ta có: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)\(\Leftrightarrow b^{2}c+c^{2}a+a^{2}b\geq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\)$\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(a\geq b\geq c>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\).

Đề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1) Lời giải Ta có: (1) \(\Leftrightarrow a^{3}+2-a^{2}-2\sqrt{a}\geq 0 \\\Leftrightarrow a^{2}(a-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow a^{2}(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-2(\sqrt{a}-1)\geq 0\)\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)[a^{2}(\sqrt{a}+1)-2]\geq 0\)   (2)_Nếu \(a\geq 1 \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng: \(a^{3}+2\geq a^{2}+2\sqrt{a}\) với \(a\geq 0\)   (1)

Đề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\) Lời giải BĐT \(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[\left (1+ x \right )^{2} +\left (1+ y \right )^{2}]\geq \left (1+ x \right )^{2} \left (1+ y \right )^{2} \)\(\Leftrightarrow \left ( 1+xy \right )[2\left ( 1+x+y \right )+x^{2}+y^{2}]\geq [\left ( 1+x+y … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho \(x,y \) dương . Chứng minh: \(\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}\)

Đề bài: Chứng minh rằng nếu  $0  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x ( cosx  -  sinx)}}$$ \Leftrightarrow c{\rm{osx}}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x +  si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x} \right) > 8{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x(c{\rm{osx  -  sinx)}}$$ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x  +  8si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}x > … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng nếu  $08$

Đề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $ Lời giải $x \ge 0,y \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt {xy}  \le x + y \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)^2} \le 2\left( {x + y} \right) $$\Rightarrow $$\sqrt x  + \sqrt y  \le \sqrt 2 .\sqrt {x + y} $. Khi đó … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a \ge 1,b \ge 1$. Chứng minh $\sqrt {{{\log }_2}a}  + \sqrt {{{\log }_2}b}  \ge 2\sqrt {{{\log }_2}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)} $