Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: ho tứ diện $SABC$ có các góc phẳng ở đỉnh $S$  vuông. Chứng minh rằng  : $\sqrt{3}S_{ABC} \geq S_{SBC}+S_{SAB}+S_{SAC}$ Lời giải Đề bài: ho tứ diện $SABC$ có các góc phẳng ở đỉnh $S$  vuông. Chứng minh rằng  : $\sqrt{3}S_{ABC} \geq S_{SBC}+S_{SAB}+S_{SAC}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki với $6$ số […]

Đề bài: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\) Lời giải Đề bài: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\) Lời giải a) Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}\leq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left ( \sqrt{k}-\sqrt{k-1} \right ).\) Do đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+2\left ( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right )+…+2\left ( \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \right […]

Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Lời giải Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Lời giải Từ giả thiết suy ra $a,b,c\in (0,1)$ và bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:   $ \displaystyle \frac{c}{1-c^2}+\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.Ta sẽ đi chứng minh :    $ \displaystyle \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Leftrightarrow \frac{1}{a(1-a^2)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow […]

Đề bài: Cho $ x,y,z\geq 0$ chứng minh $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \left ( x+y+z \right )\sqrt{3} $ Lời giải Đề bài: Cho $ x,y,z\geq 0$ chứng minh $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \left ( x+y+z \right )\sqrt{3} $ Lời giải  Với $x,y,z\geq 0$ ta có: $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}=\sqrt{3\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{x-y}{2} \right )^{2}}\geq \sqrt{3\left ( \frac{x+y}{2}\right )^{2}}=\frac{x+y}{2}\sqrt{3}$. Tương tự $\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq\frac{y+z}{2}\sqrt{3} $ ;$\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq\frac{z+x}{2}\sqrt{3} $Cộng […]

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:                   $(1+\frac{1}{n})^n Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ ta có:                   $(1+\frac{1}{n})^n Lời giải Bất đẳng thức $(1)$ đúng với $n=1, n=2$ bởi vì:$(1+\frac{1}{1})^1=2Vậy ta xét $n\geq 3$, và chứng minh rằng : với mọi số nguyên […]