Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức

Đề bài:  Chứng minh rằng $\sin20^0>\frac{1}{3}$ Lời giải Đề bài:  Chứng minh rằng $\sin20^0>\frac{1}{3}$ Lời giải Ta có $\sin 60^0=3\sin 20^0-4\sin^320^0$, do đó $\sin 20^0$ là nghiệm của phương trình:   $\frac{\sqrt{3}}{2}=3x-4x^3$.Xét hàm số $f(x)=3x-4x^3$.Đạo hàm:  $f^'(x)=3-12x^2$.Bảng biến … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Chứng minh rằng $\sin20^0>\frac{1}{3}$

Đề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :                        $P=3^{2x}+3^y$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :                        $P=3^{2x}+3^y$. Lời giải Ta có: $y=1-x$, từ đó … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x,y \geq 0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :                        $P=3^{2x}+3^y$.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :$f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền $-2\leq x\leq 2$. Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :$f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền $-2\leq x\leq 2$. Lời giải Do $x\geq -2$ nên hiển nhiên ta có: $f(x)\geq -2$ với $\forall x\in R$.Mặt khác … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :$f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền $-2\leq x\leq 2$.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3x-x^2}$ với $-3\leq x\leq 6$. Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3x-x^2}$ với $-3\leq x\leq 6$. Lời giải Ta có: $18+3x-x^2=(3+x)(6-x)$Điều … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3x-x^2}$ với $-3\leq x\leq 6$.

Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c= 1$ thì:              $\frac{1}{3^a} + \frac{1}{3^b} + \frac{1}{3^c} \ge 3\left( {\frac{a}{3^a} + \frac{b}{3^b} + \frac{c}{3^c}} \right)$ Lời giải Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c= 1$ thì:              $\frac{1}{3^a} + \frac{1}{3^b} … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c= 1$ thì:              $\frac{1}{3^a} + \frac{1}{3^b} + \frac{1}{3^c} \ge 3\left( {\frac{a}{3^a} + \frac{b}{3^b} + \frac{c}{3^c}} \right)$

Đề bài: 1)    Với $x \in [ - 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$ Lời giải Đề bài: 1)    Với $x \in [ - 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + … [Đọc thêm...] vềĐề bài: 1)    Với $x \in [ – 1;1] $,   chứng minh $\sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt[4]{{1 + x}} \le 2$2)    Tìm miền giá trị của   $y=\sin^{2n}x+\cos^{2n}x$ với $n\in Z^+$ 3)    Chứng minh:   $4^{|\sin x|} + 2^{|\cos x|} \ge 3$

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$ Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :$1 - \frac{b}{a} Xét hàm … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$

Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: $\frac{1}{a}Xét hàm số $f(x)=\ln x$ với $x>0$. Hàm số này liên tục và có đạo hàm $f'(x)=\frac{1}{x} $ trên $(0;+\infty  )$. Xét trên đoạn $[b;a]$, theo định lí La-grăng.$\exists … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng nếu $0

Đề bài: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$ Lời giải Xét hàm số $g(t)=\sqrt{t }-\ln t$ trên khoảng $(0;+\infty  )$Ta có $g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{ t} }-\frac{1}{t}=\frac{\sqrt{ t}-2 }{2t}$Lập bảng biến thiên ta … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng $\sqrt{t}>\ln \sqrt{t}$ với $t>0$

Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải $f(x)=x^{2}-(a+c)x+ac=0$ có $2$ nghiệm $a,c$Mà: $a \leq b\leq c \Rightarrow f(b) \leq 0$$\Leftrightarrow  b^{2}-(a+c)b+ac\leq 0$$\Leftrightarrow  b+\frac{ac}{b} \leq a+c$$\Leftrightarrow  yb+ac\frac{y}{b} \leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $\begin{cases}0