Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức

Đề bài: Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$ Lời giải Đề bài: Giả sử $x, y$ là các […]

Đề bài:  Chứng minh rằng $\sin20^0>\frac{1}{3}$ Lời giải Đề bài:  Chứng minh rằng $\sin20^0>\frac{1}{3}$ Lời giải Ta có $\sin 60^0=3\sin 20^0-4\sin^320^0$, do đó $\sin 20^0$ là nghiệm của phương trình:   $\frac{\sqrt{3}}{2}=3x-4x^3$.Xét hàm số $f(x)=3x-4x^3$.Đạo hàm:  $f^'(x)=3-12x^2$.Bảng biến thiên: Ta có: $\sin 20^0, \frac{1}{3}\in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ là khoảng đồng biến của hàm số $f(x)$ nên:   $\sin 20^0> […]

Đề bài: Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Đề bài: Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Xét $f(x)=\tan x,x \in (0,\frac{\pi}{2})$$f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}$$f”(x)=\frac{2\sin x}{\cos^{3}x} >0$$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$Theo BĐT […]

Đề bài: Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$ Lời giải Đề bài: Giả sử $x, y$ là các […]

Đề bài: Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$ Lời giải Xét $f(x)=(\tan x)^{2\sqrt{2}},x \in (0,\frac{\pi}{2}),$$f'(x)=\frac{2\sqrt{2}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}}{\cos^{2}x},$$f”(x)=2\sqrt{2}[\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}+\frac{2\sqrt{2}-1}{\cos^{4}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-2}]>0$$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$Theo BĐT Jensen: $f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2}) \geq 2f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3})$$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan […]

Đề bài: Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Đề bài: Cho $\triangle  ABC$ có $3$ góc nhọn.Chứng minh rằng:$\tan A+\tan B+\tan C \geq 3 \sqrt {3}$ Lời giải Xét $f(x)=\tan x,x \in (0,\frac{\pi}{2})$$f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}$$f”(x)=\frac{2\sin x}{\cos^{3}x} >0$$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$Theo BĐT […]

Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{x}{1+x} Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{x}{1+x} Lời giải Xét: $f(t)=\ln t,t \in [1,1+x](x>0)$Do $f(t)$ liên tục trên $[1, 1+x]$ và có đạo hàm trên $(1, 1+x)$,áp dụng định lý Lagrange: $\exists c\in (1,1+x)$:$f(1+x)-f(1)=f'(c)(1+x-1)\Rightarrow \ln (1+x)=\frac {x}{c} (1)$Do: $1$\Leftrightarrow \frac{x}{1+x}Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{x}{1+x}$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên mục: Ứng dụng […]

Đề bài: Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng: với mọi $\triangle  ABC$:$(\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{B}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan \frac{C}{2})^{2\sqrt{2}} \geq 3^{1-\sqrt{2}}$ Lời giải Xét $f(x)=(\tan x)^{2\sqrt{2}},x \in (0,\frac{\pi}{2}),$$f'(x)=\frac{2\sqrt{2}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}}{\cos^{2}x},$$f”(x)=2\sqrt{2}[\frac{2\sin x}{\cos^{3}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-1}+\frac{2\sqrt{2}-1}{\cos^{4}x}(\tan x)^{2\sqrt{2}-2}]>0$$\Rightarrow f$ là hàm số lõm trên $(0,\frac{\pi}{2})$Theo BĐT Jensen: $f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2}) \geq 2f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3})$$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2})^{2\sqrt{2}}+(\tan […]

Đề bài: Cho $x>y>1$.Chứng minh rằng:$5y^{4}(x-y) Lời giải Đề bài: Cho $x>y>1$.Chứng minh rằng:$5y^{4}(x-y) Lời giải Xét: $f(t)=t^{5},t \in [y,x]$Do $f(t)$ liên tục trên $[y, x]$ và có đạo hàm trên $(y, x)$, áp dụng định lý Lagrange: $\exists c\in (y,x)$:$f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$$x^{5}-y^{5}=5c^{4}(x-y)$Mà: $1$\Leftrightarrow 5y^{4}(x-y)Vậy: $5y^{4}(x-y)$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng […]

Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{x}{1+x} Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{x}{1+x} Lời giải Xét: $f(t)=\ln t,t \in [1,1+x](x>0)$Do $f(t)$ liên tục trên $[1, 1+x]$ và có đạo hàm trên $(1, 1+x)$,áp dụng định lý Lagrange: $\exists c\in (1,1+x)$:$f(1+x)-f(1)=f'(c)(1+x-1)\Rightarrow \ln (1+x)=\frac {x}{c} (1)$Do: $1$\Leftrightarrow \frac{x}{1+x}Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{x}{1+x}$\Rightarrow $ (ĐPCM) ========= Chuyên mục: Ứng dụng […]