Đề bài:  Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c= 1$ thì:              $\frac{1}{3^a} + \frac{1}{3^b} + \frac{1}{3^c} \ge 3\left( {\frac{a}{3^a} + \frac{b}{3^b} + \frac{c}{3^c}} \right)$

Lời giải

Đề bài:
 Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a + b + c= 1$ thì:              $\frac{1}{3^a} + \frac{1}{3^b} + \frac{1}{3^c} \ge 3\left( {\frac{a}{3^a} + \frac{b}{3^b} + \frac{c}{3^c}} \right)$
Lời giải

Để ý $f(x)=\frac{1}{3^x} $ là hàm nghịch biến nên
$(a-b)(\frac{1}{3^a} -\frac{1}{3^b})\leq  0, \forall a,b$
$\Rightarrow  \frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}\leq  \frac{b}{3^a}+\frac{a}{3^b}$
Tương tự : $\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c}\leq  \frac{b}{3^c}+\frac{a}{3^b}        (2)$
$\Rightarrow  \frac{c}{3^c}+\frac{a}{3^a}\leq  \frac{a}{3^c}+\frac{c}{3^a}                        (3)$

Cộng  từng vế của $(1),(2),(3)$ ta được :
$3(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c})\leq  (a+b+c)(\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c})$
hay $3(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c})\leq  (\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c})$ vì $(a+b+c=1)$ (Đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3} $

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức