Đề bài: Cho $\begin{cases}0

Lời giải

Đề bài:
Cho $\begin{cases}0
Lời giải

$f(x)=x^{2}-(a+c)x+ac=0$ có $2$ nghiệm $a,c$
Mà: $a \leq b\leq c \Rightarrow f(b) \leq 0$
$\Leftrightarrow  b^{2}-(a+c)b+ac\leq 0$
$\Leftrightarrow  b+\frac{ac}{b} \leq a+c$
$\Leftrightarrow  yb+ac\frac{y}{b} \leq (a+c)y$
$\Rightarrow (xa+ac\frac{x}{a})+(yb+ac\frac{y}{b})+(zc+ac\frac{z}{c})\leq (a+c)x+(a+c)y+(a+c)z$
$\Rightarrow  xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)(x+y+z)$
Theo BĐT Cauchy:
$
 xa+yb+zc+ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\geq 
2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})} $
$\Rightarrow 2\sqrt {(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})}\leq (a+c)(x+y+z) $
$\Leftrightarrow  4(xa+yb+zc+ac)ac(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq (a+c)^{2}(x+y+z)^{2}$
$\Leftrightarrow (xa+yb+zc+ac)(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})\leq \frac{(a+c)^{2}}{4ac}(x+y+z)^{2}  $
$\Rightarrow $ (ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức