Đề bài: Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$

Lời giải

Đề bài:
Giả sử $x, y$ là các số thay đổi thỏa mãn: $x > 0, y > 0, x + y = 1.$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{x}{\sqrt {1 – x} } + \frac{y}{\sqrt {1 – y} }$
Lời giải

Đặt $x = cos^2a $ và $y = sin^2a,$ với $0 $P = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a}}{{\sin a}} +
\frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{a}}}}{{\cos a}} = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}a +
{{\sin }^3}a}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}{\rm{.}}\cos x}}$
Đặt $t = sina + cosa = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$ $ \Rightarrow \sin a.\cos a =
\left( {\frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)$
Với $0 \Rightarrow 1 \le t \le \sqrt 2 $
Khi đó: $P = \frac{{t\left( {1 – \frac{{{t^2} – 1}}{2}} \right)}}{{\frac{{{t^2} – 1}}{2}}} = \frac{{ –
{t^3} – 3t}}{{{t^2} – 1}}$
Đặt $f(t) =\frac{{ – {t^3} – 3t}}{{{t^2} – 1}}$
Ta có $f'(t) = \frac{{ – {t^4} – 3}}{{{{({t^2} – 1)}^2}}} nghĩa là $f(t) \ge f(\sqrt 2 )\,\forall t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]$
Vậy $\mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(t)}\limits_{t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]}  =
\sqrt 2 $ khi $x = y = 1/2$
Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\sqrt{2} $ khi $x=y=\sqrt{2}$

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức