Đề bài: Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng nếu $0 < b < a$ thì $\frac{{a - b}}{a} < \ln \frac{a}{b} < \frac{{a - b}}{b}$
Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$1 – \frac{b}{a} Xét hàm $f(x) = x – 1 – \ln {\rm{x,    x }} \in {\rm{ }}\left( {{\rm{0;  +  }}\infty } \right)$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trong $\left( {0;1} \right]$ và đồng biến $\left[ {1; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow f(\frac{b}{a} ) > f(1),f(\frac{a}{b} ) > f(1)$
$ \Leftrightarrow \frac{b}{a} – 1 – \ln \frac{b}{a} > 0,\frac{a}{b} – 1 – \ln \frac{a}{b} > 0$
$ \Leftrightarrow 1 – \frac{b}{a}

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức