Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :$f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền $-2\leq x\leq 2$.

Lời giải

Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :$f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ trên miền $-2\leq x\leq 2$.
Lời giải

Do $x\geq -2$ nên hiển nhiên ta có: $f(x)\geq -2$ với $\forall x\in R$.
Mặt khác $f(-2)=-2\Rightarrow \min f(x)=-2$
Ta sử dụng bất đẳng thức bunhiacopski để tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
Áp dụng bunhiacopski cho hai dãy : $x;\sqrt{4-x^2}$ và $1;1$ ta có:
$[x^2+(4-x^2)](1^2+1^2)\geq (x+\sqrt{4-x^2})^2\Rightarrow 8\geq (x+\sqrt{4-x^2})^2 \Rightarrow \begin{cases}f(x)\leq 2\sqrt{2} \\ f(\sqrt{2}=2\sqrt{2} \end{cases}$
Vậy $\max f(x)=2\sqrt{2}$.

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức