Đề bài: Chứng minh rằng:$a.|\sin x -\sin y|\leq |x-y|, \forall x,y \in R$$b.|\sin x|\leq |x|, \forall x \in R$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:$a.|\sin x -\sin y|\leq |x-y|, \forall x,y \in R$$b.|\sin x|\leq |x|, \forall x \in R$
Lời giải

a)Khi $x=y$ : BĐT đúng
Nhận thấy : $x$ và $y$ có vai trò như nhau nên ta chỉ cần :
Xét: $xBởi $f(t)$ liên tục trên $[x,y]$ và có đạo hàm trên $(x,y)$.
Áp dụng định lý Lagrange: $\exists c\in (x,y)$:
$f(x)-f(y)=f'(c)(x-y)$
$\Rightarrow |\sin x -\sin y|=|\cos c|.|x-y| \leq |x-y| $ ( do $ |cosc|\leq 1 $)
$\Rightarrow |\sin x -\sin y|\leq |x-y| $
b)Từ câu a) lấy $y=0 \Rightarrow |\sin x|\leq |x|\Rightarrow$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức