Đề bài: Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng:   $(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\geq \frac{4}{27}(3xy+3yz+3zx)^2    (1) $ trong đó $x,y,z$ là các số thực.
Lời giải

Ta biến đổi $(1)$ tương đương:
$3[x^2y^2z^2+3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+9(x^2+y^2+z^2)+27]$
    $\geq 4(xy+yz+zx)^2         (2)$
hay $243(a^2-2b)+81(b^2-2ca)+23c^2+27^2\geq 36b^2+24bc      (3)$
Trong đó: $\begin{cases}x+y+z=a \\ xy+yz+zx=b \\xyz=c\end{cases}.$
Biến đổi bất đẳng thức $(3)$ ta được:
          $(3)\Leftrightarrow 243a^2+45b^2+23c^2-24bc-162ca-486b+27^2\geq 0$
                $\Leftrightarrow 11(3a-c)^2+12(b-c)^2+(b-27)^2+144(a^2-3b) +32(b^2-3ca)\geq 0.     (4)$
Để ý rằng:
   $a^2-3b=\frac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]\geq 0,$
   $b^2-3ca=\frac{1}{2}[(xy-yz)^2+(yz-zx)^2+(zx-xy)^2]\geq 0$
Từ đó  suyra $(4)$ đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác