• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
 Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$
Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ xét $4$ vectơ 
$\overrightarrow u=(a-4;b-3),\overrightarrow v=(c-a;d-b); \overrightarrow w=(-c-1;-d-3) $. Sẽ có $\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=(-5;-6)$
$|\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=\sqrt{61}, U=|\overrightarrow u|+|\overrightarrow v|+|\overrightarrow w|$. Rõ ràng $U \geq |\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w|=\sqrt{61}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi các vectơ  $\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w$ cùng hướng
$\Leftrightarrow  \frac{3-b}{4-a}=\frac{d-b}{c-a}=\frac{3+d}{1+c}=\frac{6}{5}>0 \Leftrightarrow  (II) \begin{cases}6a-5b=9 \\ 6c-5d=9 \end{cases}   $
Kết hợp với $(I)$ suy ra
* $a,b$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2a+b=6 \\  6a-5b=9\end{cases} \Leftrightarrow  (a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8} )$
* Tương tự hệ $\begin{cases}2c+d=2 \\ 6c-5d=9 \end{cases}$ cho $(c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8})$
Từ các kết quả trên suy ra: $U=\sqrt{61}$ là GTNN của $U$, đạt được khi
        $(a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8};c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8} ) $ 

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho :  $y  =  \sqrt {a\cos^2 {x} + b\sin^2 {x} + c}  + \sqrt {a\sin^2 {x} + b\cos^2 {x} + c}  + m\sin x\cos x$a)    Tìm điều kiện của $a, b, c$ để $y$ có nghĩa với $\forall x$.b)    Với điều kiện ấy hãy tìm $max \,y$, biện luận theo $m$
  2. Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$
  3. Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x},  \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$
  4. Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$
  5. Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên.
  6. Đề bài: Chứng minh rằng trong $3$ bất đẳng thức sau đây ít nhất có $1$ bất đẳng thức đúng:$2(a^{2}+b^{2})\geq(b+c)^{2};2(b^{2}+c^{2})\geq(c+a)^{2};2(c^{2}+a^{2})\geq(a+b^{2})$
  7. Đề bài: Cho $a,b,c >0, a+b=c$.Chứng minh rằng:$\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}>\sqrt[4]{c^{3}}$
  8. Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq  1                                               b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq  2^{n}; (|x|\leq  1), n \geq   1$
  9. Đề bài: 1)    Tìm a để bất phương trình sau đúng với $\forall x \in [- 2;4 ]:$$ – 4\sqrt {( 4 – x )( x + 2} )  \le x^2 – 2x  +  a  –  18 $            (1)2) Tìm a và b để bất đẳng thức sau đúng với $\forall x$ $| cos2x + acosx + b – 1| \le 1$      (2)
  10. Đề bài: Tìm: $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n^{\alpha}} (a,\alpha >0)$(Để ý:với $x\in R,|x|$ là ký hiệu phần nguyên của $x$,là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)
  11. Đề bài: Chứng minh rằng:$1\sqrt{C^{1}_{n}}+2\sqrt{C^{2}_{n}}+…+n\sqrt{C^{n}_{n}}
  12. Đề bài: Đặt: $x_{n}=\underbrace {\sqrt{2+\sqrt{2+…+\sqrt{2}}}}_{n}$Chứng minh rằng: $x_{n}
  13. Đề bài: Cho $n \in N,n \geq 1,a_{i}>0,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh:$(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+…+\frac{1}{a_{n}}) \geq n^{2}$
  14. Đề bài: Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì:      $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2            (1)$
  15. Đề bài: Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}\leq 3$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.