• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$

Đăng ngày: 11/07/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

adsense
Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$

Bat dang thuc

Lời giải

Đề bài:
 Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$
Lời giải

adsense

Trong mặt phẳng tọa độ xét $4$ vectơ 
$\overrightarrow u=(a-4;b-3),\overrightarrow v=(c-a;d-b); \overrightarrow w=(-c-1;-d-3) $. Sẽ có $\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=(-5;-6)$
$|\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=\sqrt{61}, U=|\overrightarrow u|+|\overrightarrow v|+|\overrightarrow w|$. Rõ ràng $U \geq |\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w|=\sqrt{61}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi các vectơ  $\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w$ cùng hướng
$\Leftrightarrow  \frac{3-b}{4-a}=\frac{d-b}{c-a}=\frac{3+d}{1+c}=\frac{6}{5}>0 \Leftrightarrow  (II) \begin{cases}6a-5b=9 \\ 6c-5d=9 \end{cases}   $
Kết hợp với $(I)$ suy ra
* $a,b$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2a+b=6 \\  6a-5b=9\end{cases} \Leftrightarrow  (a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8} )$
* Tương tự hệ $\begin{cases}2c+d=2 \\ 6c-5d=9 \end{cases}$ cho $(c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8})$
Từ các kết quả trên suy ra: $U=\sqrt{61}$ là GTNN của $U$, đạt được khi
        $(a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8};c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8} ) $ 

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Thuộc chủ đề:Bất đẳng thức - Bài tập tự luận Tag với:Các dạng bất đẳng thức khác

Bài liên quan:

  1. Đề bài: Cho $ x>y>0$. Chứng minh rằng : $ (x-y)[2-(x+y)]
  2. Đề bài: Cho ba số dương $x,y,z$ biết: $2x^2+3y^2-2z^3=0$Chứng minh rằng $z$ là số lớn nhất trong ba số đã cho.
  3. Đề bài: Cho hàm số $f$ có đạo hàm liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)=0$Chứng minh rằng: $[\mathop {Max|f(x)|}\limits_{x\in [a,b]} ]^{2}\leq (b-a)\int\limits^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx$
  4. Đề bài: Cho $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:     $a^2+b^2+c^2+d^2\geq 1$
  5. Đề bài: Cho $a_{1},a_{2},…,a_{n},b_{1},b_{2},…,b_{n}\in R$.Chứng minh rằng:$\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{a_{i}^{2}+b_{i}^{2}}\geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^na_{i})^{2}+(\sum\limits_{i=1}^n b_{i})^{2}}$
  6. Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn có:   $\sqrt{a^2+a+1}+\sqrt{a^2-a+1}\geq 2 .   (1)$
  7. Đề bài: Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng : $\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{3}\geq \left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{5}$   $\left ( 1 \right )$
  8. Đề bài: Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)
  9. Đề bài: Cho $a+b+c=6                                                      (1)$Hãy chứng minh $a^2+b^2+c^2 \geq 12      (2)$
  10. Đề bài: Chứng minh rằng:$C_{n}^{0}-\frac{1}{3}C_{n}^{1}+\frac{1}{5}C_{n}^{2}+…+\frac{(-1)^{n}}{2n+1}C_{n}^{n}\geq \sqrt{\frac{3n+1}{4n^{2}+4n+1}}$
  11. Đề bài: Cho ba số $a,b,c$ thoả mãn: $\begin{cases}a+b+c=2 \\ a^2+b^2+c^2=2 \end{cases}$.Chứng minh rằng $0\leq a,b,c\leq \frac{4}{3}$.
  12. Đề bài: Cho $x+2y+3z=2$.Chứng minh rằng:$\sqrt{1+x^{2}}+2\sqrt{1+y^{2}}+3\sqrt{1+z^{2}}\geq 2\sqrt{10}$
  13. Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{1+(n+1)^{2}}
  14. Đề bài: Cho $0\leq x,y,z\leq 1.$Chứng minh rằng :$\left ( 2^{x}+2^{y}+2^{z} \right ).\left ( 2^{-x}+2^{-y}+2^{-z} \right )\leq \frac{81}{8}$
  15. Đề bài: Cho $k$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn \(0 \le k \le n\). Chứng minh rằng: \(C_{2n + k}^n.C_{2n – k}^n \le {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}\)

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.