Đề bài:  Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$

Lời giải

Đề bài:
 Cho $4$ số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $(I) \begin{cases}2a+b=6 \\ 2c+d=2 \end{cases}$Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    $U=\sqrt{(a-4)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}+\sqrt{(c+1)^2+(d+3)^2}$
Lời giải

Trong mặt phẳng tọa độ xét $4$ vectơ 
$\overrightarrow u=(a-4;b-3),\overrightarrow v=(c-a;d-b); \overrightarrow w=(-c-1;-d-3) $. Sẽ có $\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=(-5;-6)$
$|\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w=\sqrt{61}, U=|\overrightarrow u|+|\overrightarrow v|+|\overrightarrow w|$. Rõ ràng $U \geq |\overrightarrow u+\overrightarrow v+\overrightarrow w|=\sqrt{61}$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi các vectơ  $\overrightarrow u,\overrightarrow v,\overrightarrow w$ cùng hướng
$\Leftrightarrow  \frac{3-b}{4-a}=\frac{d-b}{c-a}=\frac{3+d}{1+c}=\frac{6}{5}>0 \Leftrightarrow  (II) \begin{cases}6a-5b=9 \\ 6c-5d=9 \end{cases}   $
Kết hợp với $(I)$ suy ra
* $a,b$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2a+b=6 \\  6a-5b=9\end{cases} \Leftrightarrow  (a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8} )$
* Tương tự hệ $\begin{cases}2c+d=2 \\ 6c-5d=9 \end{cases}$ cho $(c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8})$
Từ các kết quả trên suy ra: $U=\sqrt{61}$ là GTNN của $U$, đạt được khi
        $(a=\frac{39}{16};b=\frac{9}{8};c=\frac{19}{16}; d=-\frac{3}{8} ) $ 

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác