Đề bài: Cho :  $y  =  \sqrt {a\cos^2 {x} + b\sin^2 {x} + c}  + \sqrt {a\sin^2 {x} + b\cos^2 {x} + c}  + m\sin x\cos x$a)    Tìm điều kiện của $a, b, c$ để $y$ có nghĩa với $\forall x$.b)    Với điều kiện ấy hãy tìm $max \,y$, biện luận theo $m$

Lời giải

Đề bài:
Cho :  $y  =  \sqrt {a\cos^2 {x} + b\sin^2 {x} + c}  + \sqrt {a\sin^2 {x} + b\cos^2 {x} + c}  + m\sin x\cos x$a)    Tìm điều kiện của $a, b, c$ để $y$ có nghĩa với $\forall x$.b)    Với điều kiện ấy hãy tìm $max \,y$, biện luận theo $m$
Lời giải

a) Để có ý nghĩa với $\forall x$, hệ sau phải thỏa mãn với $\forall x$
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = a{\cos ^2}x + b{\sin ^2}x + c \ge 0     (3)\\
\varphi (x) = a{\sin ^2}x + b{\cos ^2}x + c \ge 0    (4)
\end{array} \right.$
Chú ý rằng $f\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \varphi (x)$ nên chỉ cần $(3)$ đúng với $\forall x$ là $(4)$ cũng đúng với $\forall x$.
Muốn $(3)$ đúng với $\forall x$ $ \Leftrightarrow \min f(x) \ge 0$
Ta có         $f(x) = (a – b)c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x + b + c$ nên:
•    Nếu $a \ge b \Rightarrow \min f(x) = b + c$
•    Nếu $a Vậy để y có nghĩa với $\forall x$:
•    Nếu $a \ge b$: phải có điều kiện $b + c \ge 0$
•    Nếu $a
b)    Biểu thức của y gồm hai phần: $y = z + v$ trong đó:
$z = \sqrt {a{{\cos }^2}x + b{{\sin }^2}x + c}  + \sqrt {a{{\sin }^2}x + b{{\cos }^2}x + c} $
Và         $v = m\sin x\cos x = \frac{m}{2}\sin 2x$                $(5)$
Do $z \ge 0$ nên để xét max của z ta xét ${z^2}$: u = ${z^2}$=
    $ = a + b + 2c + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {\frac{{a + b + 2c}}{2}} } \right)}^2} – {{\left( {\frac{{a – b}}{2}} \right)}^2}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}2x} $        $(6)$
•    Nếu $m \ge 0$ thì từ $(5)$ $\max v$ đạt được khi $\sin 2x = 1$, khi đó $c{\rm{os2x  =  0}}$ thì từ $(6)$ suy ra $u = {z^2}$ cũng đạt được max, do đó $y = z + v$ cũng đạt được max. Vậy trường hợp $m \ge 0$ ta được: (thay $\sin 2x = 1$vào (5) và $c{\rm{os2x  =  0}}$ vào (6) )
$m{\rm{axy  =  }}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{2}}} + \sqrt {a + b + 2c + \left| {a + b + 2c} \right|} $
•    Nếu $m $m{\rm{ax y  = – }}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{2}}} + \sqrt {a + b + 2c + \left| {a + b + 2c} \right|} $

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác