Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn:  $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn:  $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$
Lời giải

Nhận xét rằng:
          $4a^3-3a+1=(a+1)(4a^2-4a+1)=(a+1)(2a-1)^2\geq 0, \forall a\in [-1,1]$.
Từ đó , với $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ ta được:
          $  4a_1^3-3a_1+1\geq 0$
           $4a_2^3-3a_2+1\geq 0$
         …
           $4a_n^3-3a_n+1\geq 0$
 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
          $4(a_1^3+a_2^3+..+a_n^3)-3(a_1+a_2+…+a_n)+n\geq 0$
          $\Leftrightarrow 3(a_1+a_2+…+a_n)\leq n\Leftrightarrow a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$ (đpcm)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác