Đề bài: Cho $n$ số thực không âm $x_1, x_2, …, x_n$ thỏa mãn điều kiện: $x_1+x_2+…+x_n\leq  \frac{1}{2} $Chứng minh rằng : $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_n)\geq  \frac{1}{2} $

Lời giải

Đề bài:
Cho $n$ số thực không âm $x_1, x_2, …, x_n$ thỏa mãn điều kiện: $x_1+x_2+…+x_n\leq  \frac{1}{2} $Chứng minh rằng : $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_n)\geq  \frac{1}{2} $
Lời giải

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với $n\in $N* và $x_1, x_2, …, x_n \in [0; 1]$ thì:
          $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_n)\geq  1-x_1-x_2-…-x_n$
Khi $n=1$ thì bất đẳng thức đúng (có dấu bằng)
Giả sử bất đẳng thức đúng khi $n=k$, tức là:
          $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_k)\geq  1-x_1-x_2-…-x_k$
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng khi $n=k+1 (k\in $N*), tức là:
          $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_{k+1})\geq  1-x_1-x_2-…-x_{k+1}$
Thật vậy:
          $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_{k+1})\geq  (1-x_1-x_2-…-x_k)(1-x_{k+1})$
                                                  $=1-x_1-x_2-…-x_k-x_{k+1}+(x_1+x_2+…+x_k)x_{k+1}$
                                                  $\geq  1-x_1-x_2-…-x_{k+1}$
Với $x_1, x_2, …, x_n \geq  0$ và $x_1+x_2+…+x_n\leq  \frac{1}{2} $ thì   $x_1, x_2, …, x_n \in [0; 1]$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
           $(1-x_1)(1-x_2)…(1-x_n)\geq  1-x_1-x_2-…-x_n$
                                                $=1-(x_1+x_2+…+x_n)\geq  1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}  $

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác