Đề bài: Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}\)  (1)
Lời giải

Do 2 vế của (1) không âm, bình phương 2 vế ta được \(\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq  a^{2}+c^{2}+2ac+b^{2}+d^{2}+2bd\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}\geq ac+bd(*)\)

– Nếu \(ac+bd\ge 0\):
\(\Leftrightarrow a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd\)
\(\Leftrightarrow b^{2}c^{2}-2(bc)(ad)+a^{2}d^{2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (bc-ad)^{2}\geq 0\) đúng \(\Rightarrow \) Đpcm.

– Nếu \(ac+bd
Tóm lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi bc=ad.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác