Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$
Lời giải

Đặt: $x=\sin 2\alpha,\alpha \in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$
Suy ra:
$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{1+\cos 2\alpha}=\sqrt{2}\cos \alpha  (1)$
( do $\alpha\in[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\Rightarrow cos2\alpha\geq 0\Rightarrow\sqrt{1-x^2}=cos2\alpha$)
$\frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}})=\frac{\sin 2\alpha(1+2\cos 2\alpha)}{\sqrt{2}}$$=\frac{(\sin 2\alpha+\sin 4\alpha)}{\sqrt{2}}$$=\frac{2\cos \alpha.\sin 3\alpha}{\sqrt{2}}$
                                        $=\sqrt{2}\cos \alpha.\sin 3\alpha\leq \sqrt{2}\cos \alpha (2)$
$(1)(2) \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}) \leq \sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}$
$\Rightarrow$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác