Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$
Lời giải

$n=1$:Bất đẳng thức luôn đúng.
$n=k (k \in N, k\geq 2)$: Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{k}} \geq \frac{k}{1+\sqrt[k]{a_{1}.a_{2}…a_{k}}}$
$n=k+1$: ta cần chứng minh:
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{k+1}} \geq \frac{k+1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}$
Ta có:
$\sum\limits_{i=1}^{k+1} \frac{1}{1+a_{i}} +\frac{k-1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}=$
$=(\sum\limits_{i=1}^{k} \frac{1}{1+a_{i}})+(\frac{1}{1+a_{k+1}}+\frac{k-1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}})$
$\geq \frac{k}{1+\sqrt[k]{a_{1}.a_{2}…a_{k}}}+\frac{k}{1+\sqrt[k]{a_{k+1}.(a_{1}.a_{2}…a_{k+1})^{\frac{k-1}{k+1}}}}$ (vì BĐT cần
chứng minh đúng với $n=k$)

$\geq \frac{2k}{1+\sqrt[2k]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}.(a_{1}.a_{2}…a_{k+1})^{\frac{k-1}{k+1}}}}=$
(vì BĐT cần chứng minh đúng với $n=2$)    
$=\frac{2k}{1+\sqrt[2k]{(a_{1}.a_{2}…a_{k+1})^{\frac{2k}{k+1}}}}=
\frac{2k}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}>
\frac{k+1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}  $ 

$\Rightarrow $ BĐT đúng với $n=k+1$
Vậy: $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{k+1} \frac{1}{1+a_{i}} \geq \frac{k+1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}$(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác