Đề bài: Cho $x,y,z$ dương và $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh:$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5 (y+z)^{3} $

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y,z$ dương và $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh:$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5 (y+z)^{3} $
Lời giải

 Đặt $a=x+y , c=y+z , b=z+x$ thì $a,b,c>0$
$x(x+y+z)=3yz \Leftrightarrow   c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab $ Ta có:
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab \geq (a+b)^{2}-\frac{3}{4}(a+b)^{2}=\frac{1}{4}(a+b)^{2}  $
nên $a+bab $
BĐT $\Leftrightarrow  a^{3}+b^{3}+3abc \leq 5 c^{3} \Leftrightarrow  (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})+3abc \leq 5 c^{3}   $
$(a+b)c^{2}+3abc \leq 5 c^{3} \Leftrightarrow  (a+b)c+3ab \leq 5 c^{2} $
$\Leftrightarrow  c(a+b-2c)+3(ab-c^{2}) \leq 0 $: đúng

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác