Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số $a,b,c\in [0,1]$ ta luôn có:  $(1+a+b+c)^{2}\geq 4(a^2+b^2+c^2)$.

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh rằng với mọi số $a,b,c\in [0,1]$ ta luôn có:  $(1+a+b+c)^{2}\geq 4(a^2+b^2+c^2)$.
Lời giải

Áp dụng BĐT: $(a+b)^2\geq 4ab, $ta có ngay: $(1+a+b+c)^2 =[1+(a+b+c)]^2\geq 4(a+b+c).   (1)$ 
mặt khác, từ giả thiết $a,b,c \in [0,1]$ suy ra: $\begin{cases}a\geq a^2 \\ b\geq b^2 \\c\geq c^2 \end{cases}$.
Do đó, $(1)$ được biến đổi tiếp về dạng:
    $(1+a+b+c)^2\geq 4(a^2+b^2+c^2)$ (đpcm).
Dấu $”=”$ xảy ra khi:
     $\begin{cases}a+b+c=1 \\ a=a^2 \\b=b^2 \\c=c^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=0  và  c=1 \\ a=c=0  và  b=1 \\b=c=0  và  a=1\end{cases}$.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác