Đề bài: Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2}+…+ \frac{1}{\sin x_{2008}}\right )$

Lời giải

Đề bài:
Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2}+…+ \frac{1}{\sin x_{2008}}\right )$
Lời giải

Ta có:  $\frac{\pi}{6}\leq x_i\leq \frac{\pi}{2}$   $(i=\overline{1,2008})$
$\Rightarrow  \frac{1}{2}\leq \sin x_i\leq 1   \Leftrightarrow  (\sin x_i-\frac{1}{2})(\sin x_i-1)\leq0$
 
$\Leftrightarrow \sin^2 x_i-\frac{3}{2}\sin x_i+\frac{1}{2}\leq0       
\Leftrightarrow \sin x_i+\frac{1}{2\sin x_i}\leq \frac{3}{2}.2008$
 
$\Rightarrow    \sum_{i=1}^{2008}\sin
x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2008}\frac{1}{2\sin x_i}\leq
\frac{3}{2}.2008   \Rightarrow  y \leq \frac{9}{8}.2008^2$
Dấu $”=”$
xảy ra  $\Leftrightarrow    \begin{cases} p  số \sin x_i=\frac{1}{2} \\
q  số \sin x_i =1 \\ \sum_{i=1}^{2008}\sin x_i= 
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2008}\frac{1}{2\sin x_i}\\p+q=2008\end{cases}$
                               $\Leftrightarrow     \begin{cases}p  số \sin x_i=\frac{1}{2} \\q  số \sin x_i =1\\p+q=2008\\\frac{1}{2}p+q=\frac{1}{2}(2p+q)  \end{cases}$
                               $\Leftrightarrow     \begin{cases}1004   góc   x_i=\frac{\pi}{6} \\ 1004   góc   x_i  còn  lại = \frac{\pi}{2} \end{cases}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác