Lời giải
Đề bài:
Cho $ x_1,x_2, … , x_{2008} \in [\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}]$. Tìm giá trị lớn nhất của: $y=(\sin x_1+\sin x_2+ … +\sin x_{2008}).\left ( \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2}+…+ \frac{1}{\sin x_{2008}}\right )$
Lời giải
Ta có: $\frac{\pi}{6}\leq x_i\leq \frac{\pi}{2}$ $(i=\overline{1,2008})$
$\Rightarrow \frac{1}{2}\leq \sin x_i\leq 1 \Leftrightarrow (\sin x_i-\frac{1}{2})(\sin x_i-1)\leq0$
$\Leftrightarrow \sin^2 x_i-\frac{3}{2}\sin x_i+\frac{1}{2}\leq0
\Leftrightarrow \sin x_i+\frac{1}{2\sin x_i}\leq \frac{3}{2}.2008$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2008}\sin
x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2008}\frac{1}{2\sin x_i}\leq
\frac{3}{2}.2008 \Rightarrow y \leq \frac{9}{8}.2008^2$
Dấu $”=”$
xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} p số \sin x_i=\frac{1}{2} \\
q số \sin x_i =1 \\ \sum_{i=1}^{2008}\sin x_i=
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{2008}\frac{1}{2\sin x_i}\\p+q=2008\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}p số \sin x_i=\frac{1}{2} \\q số \sin x_i =1\\p+q=2008\\\frac{1}{2}p+q=\frac{1}{2}(2p+q) \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}1004 góc x_i=\frac{\pi}{6} \\ 1004 góc x_i còn lại = \frac{\pi}{2} \end{cases}$
=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Trả lời